Магический квадрат

Магический квадрат (или волшебный квадрат) - это квадратная табличка n*n, наполненная n^2 разными числами так, что сумма всех чисел в любом столбце, всякой строчке и по обеим диагоналям равняется одному и тому же числу. В случае если в квадрате равны суммы всех чисел только лишь в строчках и столбиках, то его называют полумагическим. Нормальным называют магический квадрат, который заполнен натуральными числами от 1 до n^2. Магический квадрат является ассоциативным или же симметричным в том случае, когда сумма каждых двух чисел, находящихся зеркально сравнительно центра квадрата, равна n^2+1.

СОДЕРЖАНИЕ: Нормальные магические квадраты есть для любых порядков n>=1, кроме n=2, но случай n=1 банален - квадрат состоит из единственного числа. Наименьший нетривиальный случай изображен далее. Его порядок равен 3.
276
951
438

Сумма чисел в любой строчке, столбике и по обеим диагоналям именуется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата находится в зависимости лишь от n и рассчитывается по формуле Магическая константа. Отчего это так? Пусть у нас есть квадрат со стороной n. Следовательно в нём есть n^2 чисел. С одной стороны, сумма чисел S=1+2+3... +n^2=(n^2 /2) * (n^2+1). С иной стороны, S=nM. Приравняв, получим разыскиваемую формулу.
Первые значения магических констант указаны в последующей таблице (последовательность A006003 в OEIS):
Порядок n345678910111213
M (n)1534651111752603695056718701105

1. Исторически значимые магические квадраты

1.1 Квадрат Ло Шу

Ло Шу - единственный нормальный магический квадрат 3×3. Впервые обнаружен ещё в Античном Китае, 1-е изображение квадрата было на панцире черепахи и датируется 2200г. до н.э..
492
357
816

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин:

Магический квадрат Ло Шу Магический квадрат Ло Шу

1.2 Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Первый уникальный магический квадрат был найден в надписи XI столетия в индийском городке Кхаджурахо:
712114
213811
163105
96154

Это 1-й магический квадрат, принадлежащий к виду так называемых «дьявольских» квадратов.

1.3 Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В 13 в. ученый-математик Ян Хуэй начал заниматься проблемой способов создания магических квадратов. Его изучения продолжались затем иными китайскими математиками. Ян Хуэй анализировал магические квадраты не только лишь 3-го, но и высших порядков. Многие из его квадратов были довольно сложными, но он всегда разъяснял правила для их создания. Он смог создать магический квадрат 6-го порядка, который почти оказался ассоциативным (в нем лишь 2 пары центрально симметричных чисел не составляют в сумме 37):
2729241336
91120223118
3225732123
14163430125
28615172619
1243335810

1.4 Квадрат Альбрехта Дюрера

Магический квадрат 4×4, нарисованный на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», является наиболее ранним в европейском художестве. Два средних числа в нижнем ряду обозначают дату создания гравюры (1514).
163213
510118
96712
415141

Часть гравюры Дюрера «Меланхолия»:

Квадрат Альбрехта Дюрера

Совокупность чисел на каждой горизонтали, вертикали и диагонали одинакова и равняется 34. Данную совокупность также можно обнаружить во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большая часть дополнительных симметрий связана с тем, что совокупность различных пар центрально симметрично расположенных чисел равняется 17.

1.5 Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

В случае если в квадратную матрицу n х n записывается не точно натуральный ряд чисел, то такой магический квадрат - нетрадиционный. Далее показана пара подобных магических квадратов, наполненные простыми числами (несмотря на то, что единица в нынешней теории чисел не является простым числом). Порядок первого равен n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) - квадрат Джонсона. Оба квадрата были составлены в начале двадцатого века:
67143
133761
31737

3611937
4331541
7117329
67172313

Имеется еще ряд аналогичных примеров:
178971
113595
4729101

18238218098117971929313312337
8983211796416316197096175343739
97227103107193557719727607139757281
223653499197109113563479173761587157
367379521383241467257263269167601599
367379521383241467257263269167601599
349359353647389331317311409307293449
50352323333754739742117401271431433
229491373487461251443463137439457283
50919973541347191181569577571163593
661101643239691701127131179613277151
659673677683716761475974373341
8273751311787769773419149751

Последний квадрат, созданный в 1913 г. Дж. Н. Манси примечателен тем, что он состоит из 143 последовательных простых чисел кроме 2-х факторов: привлечена единица, которая не считается простым числом, и не используется единственное чётное простое число 2.

2. Квадраты с дополнительными свойствами

2.1. Дьявольский магический квадрат

Дьявольский квадрат лмбо пандиагональный квадрат - магический квадрат, в котором вместе с магической константой равны суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, образованные при свертывании квадрата в тор) в двух направлениях. Имеется 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью вплоть до поворотов и отражений. В случае если учесть ещё и симметрию сравнительно торических параллельных переносов, то останется всего лишь 3 значимо разных квадрата:
181312
141127
45169
151036
112714
813211
103165
15694
181114
121327
63169
151054
Пандиагональные квадраты есть для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3...) и отсутствуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3...). Пандиагональные квадраты 4-го порядка имеют ряд дополнительных свойств, из-за которых их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка нету. У пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные. Пандиагональных квадратов 5-го порядка 3600. Учитывая торические параллельные переносы имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них представлен далее.
11524817
91821125
122110193
20413226
23716514

пандиагональный квадрат Разломанные диагонали пандиагонального квадрата

В случае когда пандиагональный квадрат является также и ассоциативным, то его называют идеальным. Пример идеального магического квадрата:
213270262869223665
408123977744736
621051581847571452
662334711933672729
445743417983778
535515496311485916
306825356424317220
769387554380142
174660135456125061
Установлено, что нету идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4. Однако, имеются идеальные квадраты порядка n = 8. Методом построения составных квадратов можно построить на основании данного квадрата 8-го порядка идеальные квадраты порядков n = 8k, k=5,7,9...и порядка n = 8^p, p=2,3,4... В 2008 г. придуман комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k, k = 2, 3, 4,...

3. Построение магических квадратов

3.1. Метод террас

Рассказан Ю. В. Чебраковым в «Теории магических матриц».
Для заданного непарного n нарисуем квадратную табличку величиной n на n. Подстроим к данной таблице со всех четырех краев террасы (пирамидки). В итоге получим ступенеобразную симметричную фигуру.

Метод террас

Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним её диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до N^2. После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.


ВНИМАНИЕ! Если вы не видите ссылок для скачивания - отключите AdBlock (или иное подобное расширение) в своем браузере - оно блокирует ссылки на странице.

О том, как читать книги в форматах ePub, fb2, mobi, rtf, html, plain text, PDF, djvu, doc, docx, rtf, txt,... - см. раздел Необходимые программы

Самые скачиваемые у нас книги:

Джордж Мартин Игра престолов книги
Джордж Мартин
Вероника Рот
Вероника Рот
Сильвия Дэй
Сильвия Дэй
Корогодский У нас был секс
Гарик Корогодский
Дэн Браун Происхождение
Дэн Браун
Ремарк Три товарища
Ремарк
Лукьяненко Шестой Дозор
Сергей Лукьяненко
Ной Гордон
Ной Гордон
Акунин Не прощаюсь
Борис Акунин
Алекс Лесли
Алекс Лесли
Джоджо Мойес
Джоджо Мойес
Пелевин Смотритель
Пелевин Виктор
Николас Спаркс
Николас Спаркс
Гарри Поттер и проклятое дитя
Джоан Роулинг
Кетро Марта
Кетро Марта
Айн Рэнд
Айн Рэнд
Захар Прилепин
Захар Прилепин
На службе зла
Роберт Гэлбрейт
Джеймс Эрика
Джеймс Эрика
Марк Гоулстон
Марк Гоулстон